행렬 조금은 이상한 문제
저는 케일리 해밀턴 정리와 트레이스까지 써서 풀었었는데, 고등학교 행렬 지식만으로 풀 수 있는지 궁금하네요ㅎ 검증차 올려봅니다ㅎ
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제가 올린 고난도 문제보다 어려운 거 같군요..ㅎ
ㄱ. A=(0 1 B=(0 1
1 0) -1 0)
으로 두면 반례가 될 것 같아요.
ㄷ. A^2 -AB+B^2 =O. 힌트에서 주신대로, 케일리 해밀턴 쓰면, A^2 = aA+uE, B^2 = bB+vE (적절한 상수 a,b,u,v에 대해)
대입하면, AB -aA-bB-(u+v)E=O. --> (A-bE)(B-aE) = (ab+u+v)E
따라서, ab+u+v = 0이 아니라면, (B-aE)(A-bE)= (ab+u+v)E과 같이 순서 바꿀 수 있음.
앞 식, 뒷 식 변변 빼면 AB=BA. 그러나 ab+u+v=0이라면..?
ㄴ도 비슷한 방식으로 하면 될 거 같군요.
그 0인 경우가 조금 애매해서..
흐...ㅋㅋ 결국 성분까지 두고 노가다 하면 지저분하게 되긴 하는데 더 간단한 방법이 없나 모르겠네요. ㄴ은 한번쯤 생각해봄직한 유형인데 아직 제가 저런 생각을 한 번도 안 해봤던 거군요..ㅋ 일단 오늘은 자고 다시 생각해보겠습니다.. 좋은 문제 감사합니다^^
참고로 제가 구한 답은 5번이었습니다. ㄴ은 좀 신기하게 풀리는데 ㄷ이 문제인 문제입니다ㅡㅡㅋ