통계적 추정 부분의 한가지 오개념에 관하여

일단, 글을 쓰기에 앞서 이 내용은 "통계부분을 적어도 한 번 이상 공부한 적이 있는 분"들을 대상으로 하고 있다는 것을 밝힙니다.
또한 항상 1~3등급 이내로 수학등급을 받아오셨던 분들에게는 너무 당연한 이야기일 가능성이 높습니다.
또한 본인의 수학 실력은 지나가던 초등학생도 비웃고 갈 정도로 아주 하찮은 실력임을 감안해주세요.

가령 이러한 문제가 있다고 합니다.










또한, 이런 풀이가 있다고 합시다.










결론부터 말씀드리면, 위의 풀이는 엄연히 잘못된 풀이입니다.
위의 풀이의 잘못된 점을 지적하기 위해서는 다음과 같은 사실을 미리 알아두셔야 할 필요가 있습니다.

- 신뢰도 구간 계산시, "실제의 경우 모집단의 표준편차를 모르고 있는 경우가 대부분이다. 이런 경우 표본의 표준편차를 이용해도 된다는 것이 알려져 있다." (수학의 정석 p.312)

본론으로 들어가서,
위에서 제시된 저 방법에서 무엇이 잘못된 것일까요?

위의 방법에서는 "표본표준편차"와 "표본 평균의 표준편차" 이 두가지를 혼동하여 사용했습니다.
즉, 위에서 구해야 할것은 표본표준편차를 이용한 신뢰구간 계산이나, 실제로 해버린 것은 표본표준편차를 표본 평균의 표준편차로 혼동 ㅡ> 표본 평균의 표준편차로 착각한 수치를 이용하여 모표준편차 계산 ㅡ> 잘못된 답 도출의 과정으로 가버린 것입니다.


종종 보면, 의외로 많은 수의 수험생들이 이 두가지를 혼동하여 잘못된 계산절차를 밟는 경우가 많습니다.
이 두가지 개념에 대하여 자세히 알아두는것이 중요합니다.
상당히 헷갈리기 쉬운 개념이니까요.

자잘하지만 어느정도의 과외경험도 있었고, 본인 또한 고등학교 수학 교육과정을 밟아온 사람입니다.
이 부분에 대해서는 한번만에 헷갈리지 않고 바로 독파해낸 사람이 정말 드물었습니다.
개인적으로는 "독학이 느려도 가장 완벽한 공부방법이다"라는 주의를 표방하고 있긴 하지만, 이 부분에서만큼은 아닙니다.
이 부분은 독학으로 공부하면 오개념이 생길 위험이 상당히 높은 부분입니다. 용어가 비슷하고 외워야 할 공식또한 많기에 상당히 헷갈립니다.

ebs인강으로도 충분합니다. 이틀, 혹은 단 하루만이라도 이 부분에 관하여 인강을 잠시 들어보며 정리해보는 것도 나쁘지는 않을것 같습니다.
또한, 위에서 제가 언급했던 표본표준편차, 표본 평균의 표준편차를 혼동하는 실수를 저지른다고 해서 부끄러워할 이유가 전혀 없습니다. 오히려 그런 실수를 하시고, 그 실수를 극복하려고 하는 자기 자신에 대하여 자랑스러워 하셔야 할것입니다. (저 또한 현역때 공부하면서 이 개념을 받아들이는데 꽤나 오래 걸렸으니까요.) 

이 글 전체의 결론 : 표본표준편차와 표본평균의 표준편차를 헷갈리지 맙시다.
이 글의 구성 : 기-승-전-병 (내가 글쓰면 항상 이러더라 ㅠㅠ)




표본표준편차와 표본 평균의 표준편차 두개의 차이점은 제가 예전 어느분께 해드렸던 설명으로 대신하겠습니다.



* "표본의 표준편자" 와 "표본 평균의 표준편차"에 대해서 차이점을 설명하면 다음과 같습니다.*

1000개의 아이스크림이 있다고 합니다. 이 중, 포도맛을 0, 딸기맛을 1, 사과맛을 2 라고 해보죠. (이 세가지 맛으로만 이루어진 아이스크림 집단입니다.)

시행 1 : 일단 100개를 묶습니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 a라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "알파"로 정의합시다.
시행 2 : 시행1의 100개를 다시 흩트려서 1000개에 포함시키고, 다시 임의로 100개 추출합니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 b라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "베타" 라고 합니다.
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시행 n번째 : 위와 마찬가지로 이 때의 평균을 "n"이라 합니다. 그리고, 이때의 표준편차를 "뉴"라고 합니다.

이제 가능한 모든 시행을 하였을때를 생각해보죠.

"알파, 베타, 감마...뉴" 이것들은 각 표본집단들의 표준편차인 "표본표준편차"입니다.

한편, "표본 평균의 표준편차"는 다릅니다.
a,b,c,d,....n의 값들을 또다시 집단으로 묶어봅니다. (순수히 "평균의 값들"만 집단으로 묶습니다."

a,b,c,d,....,n의 값들을 평균낸 것을 "표본 평균의 평균"이라고 합니다.
a,b,c,d,....,n의 값들의 표준편차를 계산한것을 "표본평균의 표준편차"라고 합니다.

그리고, 공식 (시그마)/sqrt(표본집단의 크기)공식은 "표본평균의 표준편차"를 구할때 쓰는 공식입니다.
위의 "표본표준편차"와는 전혀 관련이 없는 내용입니다.
또한 이 공식에 대한 고등학교 교육과정 내의 증명은 없습니다. "알려져있다."라고만 나와 있지요.


그림으로 나타내면 다음과 같습니다.