[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
학교에서 알아서 폐기해주시는건가? 아님 내가 찾아가면 뽑아주시는건가 학원에 있어서 모교 못 가는데
-
우선 나부터... 살다살다 18번을 틀릴줄은...
-
갑자기안되네요
-
지금부터 국어 인강 컨텐츠 안할건데 사는거 추천하시나요? 딸려오는 파이널간쓸개도...
-
노베 물리 0
쌩노베 물리1 내년 수능에서 최소1등급 받고싶은데 현실적으로 뭘 해야하나여 배기범...
-
오늘의 연계 작품은 (가) 기형도-질투는 나의 힘과 (다) 정여울-그때 알았더라면...
-
제가 d인데 축소하고싶어요
-
고능아전용과목임??
-
d-50일이 다가와서 다른 과목을 해야할거 같은데 감이 안 와서 오르비 형님들께...
-
떡밥던지기 on
-
아 ㅋㅋㅋㅋ 2
안죽네 ㅆㅂ ㅋㅋ 머리 돌이냐
-
아직은 뭐 컨디션 체력적으로나 건강엔 이상 없긴한데 이러다 어느날 갑자기 뭔일 생기면 어캄
-
24수능 지구과학1 제 풀이를 “최대한” 복기한 자료입니다. 저 풀이가 100%가...
-
6수의 종지부를 찍으려고하는데 마지막으로, N티켓 다 하고나서 ( 이번주에 끝날듯...
-
재 친동생이 올해 수시로 대학을 썼는데요! 담임 선생님께서 1년치 데이터로만 가지고...
-
퍼즐과탐 해소법 3
지1:지1,2통합 그리고 시간 50분? 주고 40문제 준다면 되지 않을까...
-
20 21 24 어법 1빈칸1 89점은 좀 아니지 ㅋㅋ 싸울래 20번초반...
-
너 대신 들리는 무미건조한 목소리
-
현역은 아니고 아직 고2 정시 준비중입니다 기출회독을 강기분하고 새기분까지 했는데도...
-
대성이나 딴데는 다 되는데 얘만 안됨...하 장클 봐야되는데
-
4과탐체제 부활
-
아수라 일지도 저만 아수라 일수도 있다는 뜻으로 알았나요,,? 1
아수라 일지도..? 이뜻인줄 알았는데
-
다이어트 3일차인데 저녁에 외식해서 돼지갈비 7인분에 비냉, 물냉 밥까지 먹고...
-
1,2지망 경희대와 건국대 수시지원했는데 진짜 모르겠어요 건국대의 발전가능성과...
-
현재 군복무중인 군수생입니다 6모 전까지는 나태해질때가 없진 않았지만 금방 극복하고...
-
?
-
이창용, 외신에 파격 발언 "서울집값 잡으려면 강남학생 명문대 제한해야" 3
이창용 한국은행 총재가 과도하게 오르는 서울 집값을 잡기 위해서는 강남과 같은...
-
머가 조을까뇨 이유도 알려주시면 감사하겟습니당
-
고통없이 죽는법 9
뭐가 있을까요
-
ㅅㅂ ㅋㅋ
-
수학 도형 0
수학 미적하는데 도형문제를 너무 못해서 하루 날잡고 50문제 정도 풀려하는데 문제집 추천해주세여
-
중앙대학교 정도면 객관적으로 명문대라고 생각하시나요? 8
오르비 유저분들의 생각이 궁금합니다
-
이런 실험을 바탕으로한 추론문제로 시험지를 채워야한다고 생각해요
-
운빨좆망겜이란건 동의할수있는데 그건 머 옆동네 생물이나 물리도 비슷하고 지구는...
-
수학 n제 0
빅포텐 시즌2가 어렵나요 문해전 시즌1이 어렵나요??
-
ㄱㅅㅎㄴㄷ ㄱㅅㅎㄴㄷ..
-
열심히 풀되 막히는 부분이나 발상은 강사풀이 보면서 배워가라는 의도가 아닐까요?
-
Retry 1
재수생각 계속 나는게 ㅈ같지만 현실이 이러니 계속 생각이 드네요
-
생1이나 화1은 어느수준 넘어서면 실력보다 종교,조상님 묫자리가 3
더 중요하지않음? 대놓고 제일 정상화가 필요한 과목들인데
-
의대 준비?…서울대 1학년 자연계열 학생 4명 중 1명 휴학 1
올 2학기에 서울대 1학년 자연계열 학생 4명 중 1명이 휴학한 것으로 나타났다....
-
24시간을 기다릴 때마다, 제 머리를 마구잡이로 사용하여 내 두뇌쑥이 완전히...
-
실모벅벅 하고싶은데 그러지 마래 우기분 문학 언제 개강해!!!
-
서울이 추우면? 8
서울시립대 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
문제 맞춘다는 생각은 최대한 배제하고 지식 습득 차원에서 내가 올바르게 이해했는 지...
-
오
-
서울대가고싶다 1
오래된 소원이다
-
고1 정파러 0
고1 강남 8학군 일반고 1학기 종합 5.8이 떳거든요.. 이거 복구하려면 최소...
-
클리어모고 0
푸신분 계신가요 ??! 풀었는데 난이도 가늠이 안돼서 혹시 어떠셨나요
-
지구 퀴즈 5
특이 은하는 일반적인 은하보다 에너지 방출 영역이 넓다. (O / X)
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.