수학 질문.. 미분 가능성과 연속에 대하여(수학 고수님들 도와주세요)
f(x)=x^2sin1/x (x가 0이 아닐 때)
=0 (x=0)
에서 f`(x)의 x=0에서의 연속성을 알아보고자 합니다.
먼저 정의를 사용했을 때 limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 입니다.
f`(x)=2xsin1/x - cos1/x 가 됩니다. limx->0 f`(x) 는 존재하지 않습니다. 진동하기 때문이죠.
따라서 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다.
여기까지는 이해가 갑니다.
그런데 제가 궁금한 점은
limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 을 구할 때 좌변의 식은 사실
1. limx->+0 {f(x)-f(0)}/(x-0), 2. limx->-0 {f(x)-f(0)}/(x-0) 을 합친 것으로 알고 있습니다.
1.식은 사실 fx의 우미분계수 이고, 마찬가지로 2.식은 fx의 좌미분계수 아닙니까?
따라서 위 내용은 x=0에서의 좌우미분계수가 같다고 해석했습니다.
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x<p)
라고 하고 fx가 x=p에서 미분 가능하다고 하면
f1(p)=f2(p) , f`1(p)=f`2(p)를 만족해야 합니다.
그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.
그런데 사실상 f`1(0)은 x=0에서의 우미분계수, f`2(0)=0은 좌미분계수 이므로 두개가 서로 같다면
limx->0 f`(x)= f`(0) 이란 뜻 아닙니까? (f`(0)가 미분 가능하므로)그렇다면 f`(x)는 x=0에서 연속 이라고
생각되는데
네. 사실 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다. 논리적으로 어디서 틀렸는지 모르겠습니다.
고수님들 알려주세요 ㅠㅠ(진짜 막써서 무슨 내용인지 못 알아보실수도 있음..)
--------------------------------------------------
즉, limx->+0 f1(x)-f1(0)/x-0 = f`1(0)
limx->-0 f2(x)-f2(0)/x-0 = f`2(0)
f`(0)= limx->0 fx - f0/x-0 = f`1(0)=f`2(0) (f`(0)을 구하는 정의에서 f`(0)의 좌미분계수와 우미분계수가
같아야 한다는 뜻.=>좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이
f`(0)과 같아야함. 고로 f`(x)는 x=0에서 연속이라고 생각함 =>그런데 아님.. 뭐가 문제인가요?)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
부사관 학벌 0
대부분 고졸 혹은 지방 4년제 맞음??
-
-
오늘의 모닝실모 1
한수 8회 강대X 10회 목표 점수대 90이상 100이상
-
강의실 책상에 그대로 있네 진짜 존나 다행이다
-
옯모닝 0
음 9시이전이면 얼버기지.. 음음
-
수 상 수 하 개념을 아예 모르는 건 아니지만 내신공부를 하나도 안했다보니 문제를...
-
다들 화이팅!
-
와 0
수능 냄새 난다
-
동네 작은 학원에서 재수반 관리 및 수학을 가르치는 강사입니다 오늘 모의고사 치르는...
-
가방회수완료 0
이제 옷이랑 자켓이랑 이어폰만 찾으면 된다
-
그냥 대부분 직관적인감에 의존하는거죠?
-
ㅎㅇ 2
-
얼어죽겄네
-
clothing20snu 대성 커피 먹구 가 ~~ ⸝⸝ɞ̴̶̷ ·̮ ɞ̴̶̷⸝⸝ 0
있잖아, 지금 2026 19패스 구매하고, 내 ID를 입력하면 너도, 나도 각각...
-
중대 3
검은색 한자 과잠 사랑합니다
-
사연보고 추첨 90씩 두과목이면 현강비 한두푼 아닐텐데 쿨하게 포기하네
-
굿모닝 10
-
처음도 아니고 수능 일주일 남기고 이러니까 화가 ㅈㄴ 남 그냥
-
모교 갓다가 학교 알려주면 그 학교로 가는 곤가? 어케대는거예요?
-
4 1
군수생 달린다 재활하기 가장 만만한 생윤부터 공부하는 걸로...
-
그놈이 왔구나
-
이거 진짜 루틴된 것 같은데 족비상이에요,,,
-
-
사설벅벅벅벅하다가 평가원 푸니까 모래주머니 풀은 느낌 1
엿같은 계산도 배배 꼬아놓은 표현도 나를 막을 수 업다. 이몸, 최강.
-
나중에 볼려고 했는데 제목이 갑자기 생각이 안나요
-
삼수해야지 5
진심으로 저렇게 생각하는게 긴장을 줄일 최대한의 방법인 것 같다
-
내 다리털 땜에 내가 간지러움;;
-
나 7시 45분에 기상함 이게 최대야 어무이가 밥 억지로 먹여서 이제 나갈준비하는중
-
비약이 있으니까 약사 할까
-
물2 개념 강의 누가 ㄱㅊ았나요? 보통 얼마나 걸리나요?? 물2는 지금 친구가 대성...
-
수능이라고 세상에서 없애버리고 싶은데 보면볼수록 자꾸 또 보고 싶고 안보면 자꾸...
-
공못광광울 8
제발 수능까지 처참하진 않았으면 좋겠는데
-
승무원학원 그런거 안다녀도 성적 개높으면 붙여줌?
-
진짜 개춥네 2
ㄷㄷㄷㄷ
-
지금이라도 전부 다 보는게 그래도 좋을까요? 운문 위주로 집중적으로 볼까요
-
뭐로 주지 쪼꼬 줄까 싶은데
-
전역하고전역콘열어죠
-
김종익 잘노기 들었구 파이널 모고 풀다가 너무 어려워서 유기했습니다... 홉로루...
-
페레로N 4
너도N수야?
-
내성 생겨서 효과 없다 말고 역으로 작용하는 것도 가능한거임?
-
나도 오빠좋아함 12
나는 정상이라고생각해요. . 집에 동거도하고 밥도먹고 잠도 같이 잠 ㅇㅋ? 군대도...
-
왤케 덥지
-
풀로 달리니까 아치멩 못 일어나겠네 오늘도 늦잠자버렸어
-
내가 본 사설 중 가장 답이 깔금하게 떨어지도록 설계된 거 같음
-
추워 2
-
학원 가기싫다 7
...
-
나님 기상 0
안녕 세상아!!!!!!
-
이거만 오르비에 3번째 올리는데 자꾸 정신병이라 그러는데 좋아할수도 있는거 아님?...
-
이익사회 공동사회 뭐 이런 거 나오고 갯수 세는거 약한데 어떤거 해야하는지 추천해주세요!
-
강x 시즌1~3 푼거 12회분 점수 쭉 점수 보니 확실히 알겠음 아쉽지만 인정하고...
제시하신 식은 도함수가 불연속이지만 미분계수가 존재하는 경우를 예로 들 때 자주 등장하는 식이네요.
말씀하신 부분 중
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x
감사합니다
본문에서 잘못된 점.
1. [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.] ㅡ> [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 x=0에서 미분 가능합니다.]
2. [좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이 f`(0)과 같아야함.] ㅡ> 같아야 할 이유가 없습니다.
3. 좌미분계수와 우미분계수의 값이 동일하다고 하여, 해당 점에서 도함수의 연속이 보장되지 않습니다. 연속일 조건은 좌극한, 우극한의 값이 동일하고 그 극한값이 실제 그 점에서의 f(x)의 값과 동일해야 합니다. 좌극한 우극한만 같다고 해서 반드시 연속인 것은 아닙니다.
4. 제시해주신 상황에서 잘 이해가 가지 않는다면 이 글에 제시된 함수를 사례로 이해를 시도해보시기 바랍니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
그냥 지나쳐갈수도 있었을 의문에 대해서 답을 알고자 하는 자세가 매우 훌륭하다고 생각합니다. 부디 그 자세 잃지 않으셨으면 좋겠습니다.
감사합니다.
1.번은 잘못된 점을 알았습니다.
그런데 2번에서 limx->+0 f(x)-f(0)/x-0 을 우미분계수로 보면 안된다는 것인가요?
3.즉 limx->+0f`(x) 가 우미분계수가 아니라는 말씀이시죠?
우미분계수와 좌미분계수는 상관없습니다. 둘 다 맞아요.
도함수의 연속성이 궁금한거잖아요?
그럼 다음 요건을 봐야합니다.
1. 도함수의 좌극한과 우극한이 같다 ㅡ> 본문에서 확인하셨습니다.
2. 이 좌극한=우극한 의 값이, 실제 그 점에서의 도함수 값과 같다 ㅡ> 실제 그 점에서 도함수 값이 정의되지 않으므로 같다고 할 수 없습니다.
이 2번 과정을 빠트리고, 1번 과정으로만 연속성을 판단하셨기에 생긴 오류입니다.
ㅋㅋ... 이해된줄 알았는데 한 번만 더 여쭤볼게요..
무슨 말씀 하시는지는 이해가 갔습니다.
근데 제가 이해가 잘 안가서..ㅠㅠ
그런데 말씀하시는 좌극한=우극한 값이 같다는것이 실제 그점에서의 도함수 값과 같다는것 아닌가요?
왜냐하면,
limx->0 fx-f0/x-0 가 정의되기 때문이라고 생각합니다.
즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이
존재한다는 뜻이니까요. 또한, 이 좌극한, 우극한이 으므로
f`(0)이 존재한다는 뜻 아닌가요? 고로
f'(0) = limx->+0 fx-f0/x-0 = limx->-0 fx-f0/x-0
아닌가요?
정말 감사합니다..!!
[즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이 존재한다는 뜻이니까요.] ㅡ> 오개념입니다. 좌극한, 우극한이 존재하는 것과 그 점에서의 함숫값이 존재하는 것은 전혀 상관이 없습니다.
좌극한, 우극한은 존재하지만, 그 점에서의 함숫값이 존재하지 않거나 좌,우극한 값과 다르다면 해당 함수는 그 점에서 불연속입니다.
2013학년도 9월 평가원 가형 6번문제를 보시면 해당 함수의 예시가 나와있습니다. 좌극한, 우극한은 같고, 존재하지만 그 점에서의 함숫값이 좌극한, 우극한 값과 다릅니다.
즉, "잘 가다가, 어느 한 점에서 구멍이 나 있는 함수"의 개형을 생각해 보십시오. 좌극한, 우극한 값이 동일하지만, 그 점에서 함숫값은 정의되지 않습니다.
제 말 뜻은 함숫값이 존재한다는 것이 아니라 극한값이 존재한다는 것입니다.
미분계수의 정의가 평균변화율의 '극한값'인 것 처럼요
극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데.. 제가 어디를 잘못보고있는것인지요
ㅠㅠ
연속일 조건
1. 좌극한, 우극한의 값이 존재한다.
2. 이 좌극한=우극한의 값과, 해당 점에서 함숫값이 동일하다.
미분가능일 조건
1. 연속이다
2. 좌미분계수와 우미분계수가 동일하다.
좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 서로 같다고 하여 그 지점에서 미분가능한것도 아니고, "도함수의 연속성"이 판정되는 것도 아닙니다.
연속과 미분가능하다는 것은 서로 다른거예요.
사실 지금 님께서 뭐가 궁금한건지 파악을 못하고 있어요.
차라리 종이에 적어주셔서 다시 게시물 올려주시면 뭐가 궁금한건지 잘 알수 있을 것 같은데요.
[극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데] ㅡ> 이 부분이 잘못된거예요.
도함수의 불연속을 따지려면, 도함수 자체의 좌극한, 우극한을 생각해야겠죠. 도함수 자체의 함숫값과 도함수 자체의 우극한, 좌극한이 같은 값을 가지는가? 이게 관건입니다.
원 함수의 좌극한, 좌미분계수, 우극한, 우미분계수는 '도함수의 연속'과는 전혀 관련이 없어요.
음.. 도함슈의 우극한과 우미분계수가 다른가가 의문이었습니다. 사진 찍은게 있는데 지금 못올려서 아쉽네요 감사합니다
밤에 집가서 올려보겠슴다!
미분 가능 하다는것과 도함수가 연속하는건 아무 상관없는 서로 다른 개념이에요
넵..그런데 그것이 수식으로 이해가 가지 않아 사진찍어올려보려구요
모르비 사진첨부기능 미아..