수학 질문.. 미분 가능성과 연속에 대하여(수학 고수님들 도와주세요)
f(x)=x^2sin1/x (x가 0이 아닐 때)
=0 (x=0)
에서 f`(x)의 x=0에서의 연속성을 알아보고자 합니다.
먼저 정의를 사용했을 때 limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 입니다.
f`(x)=2xsin1/x - cos1/x 가 됩니다. limx->0 f`(x) 는 존재하지 않습니다. 진동하기 때문이죠.
따라서 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다.
여기까지는 이해가 갑니다.
그런데 제가 궁금한 점은
limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 을 구할 때 좌변의 식은 사실
1. limx->+0 {f(x)-f(0)}/(x-0), 2. limx->-0 {f(x)-f(0)}/(x-0) 을 합친 것으로 알고 있습니다.
1.식은 사실 fx의 우미분계수 이고, 마찬가지로 2.식은 fx의 좌미분계수 아닙니까?
따라서 위 내용은 x=0에서의 좌우미분계수가 같다고 해석했습니다.
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x<p)
라고 하고 fx가 x=p에서 미분 가능하다고 하면
f1(p)=f2(p) , f`1(p)=f`2(p)를 만족해야 합니다.
그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.
그런데 사실상 f`1(0)은 x=0에서의 우미분계수, f`2(0)=0은 좌미분계수 이므로 두개가 서로 같다면
limx->0 f`(x)= f`(0) 이란 뜻 아닙니까? (f`(0)가 미분 가능하므로)그렇다면 f`(x)는 x=0에서 연속 이라고
생각되는데
네. 사실 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다. 논리적으로 어디서 틀렸는지 모르겠습니다.
고수님들 알려주세요 ㅠㅠ(진짜 막써서 무슨 내용인지 못 알아보실수도 있음..)
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즉, limx->+0 f1(x)-f1(0)/x-0 = f`1(0)
limx->-0 f2(x)-f2(0)/x-0 = f`2(0)
f`(0)= limx->0 fx - f0/x-0 = f`1(0)=f`2(0) (f`(0)을 구하는 정의에서 f`(0)의 좌미분계수와 우미분계수가
같아야 한다는 뜻.=>좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이
f`(0)과 같아야함. 고로 f`(x)는 x=0에서 연속이라고 생각함 =>그런데 아님.. 뭐가 문제인가요?)
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제시하신 식은 도함수가 불연속이지만 미분계수가 존재하는 경우를 예로 들 때 자주 등장하는 식이네요.
말씀하신 부분 중
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x
감사합니다
본문에서 잘못된 점.
1. [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.] ㅡ> [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 x=0에서 미분 가능합니다.]
2. [좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이 f`(0)과 같아야함.] ㅡ> 같아야 할 이유가 없습니다.
3. 좌미분계수와 우미분계수의 값이 동일하다고 하여, 해당 점에서 도함수의 연속이 보장되지 않습니다. 연속일 조건은 좌극한, 우극한의 값이 동일하고 그 극한값이 실제 그 점에서의 f(x)의 값과 동일해야 합니다. 좌극한 우극한만 같다고 해서 반드시 연속인 것은 아닙니다.
4. 제시해주신 상황에서 잘 이해가 가지 않는다면 이 글에 제시된 함수를 사례로 이해를 시도해보시기 바랍니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
그냥 지나쳐갈수도 있었을 의문에 대해서 답을 알고자 하는 자세가 매우 훌륭하다고 생각합니다. 부디 그 자세 잃지 않으셨으면 좋겠습니다.
감사합니다.
1.번은 잘못된 점을 알았습니다.
그런데 2번에서 limx->+0 f(x)-f(0)/x-0 을 우미분계수로 보면 안된다는 것인가요?
3.즉 limx->+0f`(x) 가 우미분계수가 아니라는 말씀이시죠?
우미분계수와 좌미분계수는 상관없습니다. 둘 다 맞아요.
도함수의 연속성이 궁금한거잖아요?
그럼 다음 요건을 봐야합니다.
1. 도함수의 좌극한과 우극한이 같다 ㅡ> 본문에서 확인하셨습니다.
2. 이 좌극한=우극한 의 값이, 실제 그 점에서의 도함수 값과 같다 ㅡ> 실제 그 점에서 도함수 값이 정의되지 않으므로 같다고 할 수 없습니다.
이 2번 과정을 빠트리고, 1번 과정으로만 연속성을 판단하셨기에 생긴 오류입니다.
ㅋㅋ... 이해된줄 알았는데 한 번만 더 여쭤볼게요..
무슨 말씀 하시는지는 이해가 갔습니다.
근데 제가 이해가 잘 안가서..ㅠㅠ
그런데 말씀하시는 좌극한=우극한 값이 같다는것이 실제 그점에서의 도함수 값과 같다는것 아닌가요?
왜냐하면,
limx->0 fx-f0/x-0 가 정의되기 때문이라고 생각합니다.
즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이
존재한다는 뜻이니까요. 또한, 이 좌극한, 우극한이 으므로
f`(0)이 존재한다는 뜻 아닌가요? 고로
f'(0) = limx->+0 fx-f0/x-0 = limx->-0 fx-f0/x-0
아닌가요?
정말 감사합니다..!!
[즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이 존재한다는 뜻이니까요.] ㅡ> 오개념입니다. 좌극한, 우극한이 존재하는 것과 그 점에서의 함숫값이 존재하는 것은 전혀 상관이 없습니다.
좌극한, 우극한은 존재하지만, 그 점에서의 함숫값이 존재하지 않거나 좌,우극한 값과 다르다면 해당 함수는 그 점에서 불연속입니다.
2013학년도 9월 평가원 가형 6번문제를 보시면 해당 함수의 예시가 나와있습니다. 좌극한, 우극한은 같고, 존재하지만 그 점에서의 함숫값이 좌극한, 우극한 값과 다릅니다.
즉, "잘 가다가, 어느 한 점에서 구멍이 나 있는 함수"의 개형을 생각해 보십시오. 좌극한, 우극한 값이 동일하지만, 그 점에서 함숫값은 정의되지 않습니다.
제 말 뜻은 함숫값이 존재한다는 것이 아니라 극한값이 존재한다는 것입니다.
미분계수의 정의가 평균변화율의 '극한값'인 것 처럼요
극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데.. 제가 어디를 잘못보고있는것인지요
ㅠㅠ
연속일 조건
1. 좌극한, 우극한의 값이 존재한다.
2. 이 좌극한=우극한의 값과, 해당 점에서 함숫값이 동일하다.
미분가능일 조건
1. 연속이다
2. 좌미분계수와 우미분계수가 동일하다.
좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 서로 같다고 하여 그 지점에서 미분가능한것도 아니고, "도함수의 연속성"이 판정되는 것도 아닙니다.
연속과 미분가능하다는 것은 서로 다른거예요.
사실 지금 님께서 뭐가 궁금한건지 파악을 못하고 있어요.
차라리 종이에 적어주셔서 다시 게시물 올려주시면 뭐가 궁금한건지 잘 알수 있을 것 같은데요.
[극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데] ㅡ> 이 부분이 잘못된거예요.
도함수의 불연속을 따지려면, 도함수 자체의 좌극한, 우극한을 생각해야겠죠. 도함수 자체의 함숫값과 도함수 자체의 우극한, 좌극한이 같은 값을 가지는가? 이게 관건입니다.
원 함수의 좌극한, 좌미분계수, 우극한, 우미분계수는 '도함수의 연속'과는 전혀 관련이 없어요.
음.. 도함슈의 우극한과 우미분계수가 다른가가 의문이었습니다. 사진 찍은게 있는데 지금 못올려서 아쉽네요 감사합니다
밤에 집가서 올려보겠슴다!
미분 가능 하다는것과 도함수가 연속하는건 아무 상관없는 서로 다른 개념이에요
넵..그런데 그것이 수식으로 이해가 가지 않아 사진찍어올려보려구요
모르비 사진첨부기능 미아..