다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
국어 끄적끄적한 것 뿐 생각이 너무 많아져서 아무것도 할 수가 없었다 그래도 국어...
-
조선약 안되는 극단적인 과탐1망들한텐 한줄기 빛같은 존재.. 성대한테 구원(?)...
-
정확히 1년 전 10월 3일에도 오르비에 글을 쓰셨다는 것 ... 과연 계획된걸까
-
저출산에 수반되는 아주 당연한, 전부터 충분히 전문가들에 의해 예견되어 왔던 문제고...
-
ㄹㅇ임
-
임영웅팬중에서 20대 남자도 있겠죠..그죠^^?ㅎ
-
뇌에서 신경 사건은 무작위로 일어난다는 말 반자유의지 논증이 떠오르는군뇨 저에게...
-
수학엔제 0
마지막으로 볼 엔제골라주세용
-
ㅜㅜ 어제 오늘 해서 국영수 실모 틈틈히 봤는데 국어는 매체도 틀리고 평소 다 맞던...
-
체감 난도도 시즌2가 더 높은 것 같은데 뭐지
-
게임이 잘 풀리는듯 오너도 케리아도 페이커도 다 아쉬웠음 구마는 음....잘 모르겠다
-
야식 추천좀
-
뭐냐뇨이 걍참아야지머 느껴지는감정을어떻게참지 불가능하구나
-
수능 끝나고 봅시다. 작년 9평 경기대에서 수능 경희대로 올린 기적, 올해 더 높은...
-
[국어] 구주연마의 서 53강, 54강 (4주차 본강의 50%) 구주연마의 서...
-
근래 봤던 25번중에는 젤 어려운듯 ㅋㅋ 식으로하면 계산폭탄일거 같아서 걍 함수의극한처럼 풀었음
-
뭘까 감을 드디어 잡은건가 문학은 거의 안틀리네
-
하아... 먹을까 말까
-
긴장도 거의 안되고 걍 하루하루가 무난하고 버틸 만한데 긴장을 가지는 게...
-
(제발여)미적 2따리 서바 난이도차이 질문!!!! 11
제가 미적러고 올해 6모 백분위94 9모 88점 딱2컷인데 히카 이해원 양모 같은거...
-
왜 이렇게 이상한 사람이 되었을까요 생각보다 다른 사람들도 이상해서 상대적으로...
-
15는 찍맞이라 92임 15/22틀 미적 3개 다 맞은 거 처음임 와 ㅅㅂ 90점대 처음 찍어본다
-
아직 OT를 보지않은 나 알려줘요
-
메가패스 파이널 0
실모 벅벅하려고 살라하는데 14일 끝나면 더 싸지나요? 아니면 내년 패스로 넘어가려나
-
이감은 다풀고 얘만 쌓이는데 처리를 어떻게하지
-
D-42 1
AM 8 ~ 12 : 30 : 독서론 24 / 6 : 문학론 24 / 6 PM 13...
-
ㅈㄴ 아쉽네
-
잇올에서 연애 1
하고싶다.......잘해줄게..
-
1 나온 적 있어요?
-
지금 크럭스 테이블이 2회 수정을 거쳐서 표준점수 산출 공식이 위와 같이 됐는데,...
-
뭔가 작수랑 비슷하지 않았어요..?? 수능문제는 하도 많이 풀어봐서 이젠 쉽다고...
-
곰 호랑이 사람 0
이중 호랑이는 한자어 虎狼+접미사 -이 '곰'은 '고마'에서 음절이 축약되며 성조가...
-
나는지능도떨어지고능력도없는게쓸데없이망상만많이해가지고아무일도없는데걱정거리만늘어나고별의별...
-
슬럼프옴 ㅈ됐네 13
걍 공부가 하기싫네 독재가서 책펴놓고 마음속으로 공부하기싫어 공부하싫어 3000번 외친듯
-
개천절 지났네
-
원래 한의대 목표였는데 무슨 짓을 해서라도 의대에 가야겠습니다 의사가 월400도 못...
-
다들 왤케 잘하는거임 화학을;; 나만 존나 안잡히는건가 서바도 매번 세문제 두문제...
-
후루루룹
-
부모님 왈: >>>전역하면 시작이야 사회생활이 더 힘들다...사회에 나가봐라 지금...
-
기출만 올해 할까요?
-
진짜 존나 피곤하네 뭐만 하면 찡찡거리고 전화 안되냐 나 너무힘들다 뭐 씨발 이...
-
길게 쓰긴 귀찮고 그냥 마늘 얘기할게요. 또 이 접미사 -ᄋᆞᆯ은 중세국어...
-
피부과 가야해요?
-
강대x 6회차 0
문제 자체는 풀면서 쉽다는 느낌이 나긴했는데 시간이...
-
내일이 중간고산데, 재수하면 수시원서는 절대 안넣을거 같아서 버릴려 하는데, 챙겨야...
-
멤버십 어쩌고 한 이유가 있었군
-
드릴 본교재 대신 워크북만 사서 푸는거 어떤가요..? 그냥 본교재만 사는게 훨씬 나은가요..
-
신 상 혁ㄷㄷ 1
찬양해
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다