[에라둔] 비례 상수와 역학적 에너지
저번에 업로드한 피직솔루션 비례식 파트 중에서 다소 생소할 수 있는 내용으로
비례 상수의 일치가 있는데 이부분에 대해 짧게 칼럼을 써볼까 합니다.
비례식의 특성을 몇개 뽑아보면 다음과 같습니다.
1. 곱셈, 나눗셈으로 이루어진 관계식은 비례식끼리도 성립한다.
비례식끼리는 곱셈 나눗셈이 가능하다는 의미입니다.
(F=ma면 F비 = m비*a비)
2. 비례식끼리는 일반적으로 덧셈 뺄셈이 불가능하나 양쪽 비례상수가 동일할 경우 가능하다.
A=B+C라는 관계식은 A비 = B비*C비 가 불가능합니다.
단, 이 때 B비와 C비의 비례상수가 동일할경우엔 해당 식이 성립하게 됩니다.
3. 두 비례식의 덧셈, 뺼셈 과정에서 한쪽 비례식이 0:0일경우엔 덧셈 뺼셈이 가능하다.
(0:0) 에 (2:3)을 더할 경우엔 2:3이라는 결과가 도출되는것에 문제가 없음을 의미합니다.
4. 서로다른 두 비례식의 비례상수를 일치시키기 위해서는 각 비례식에 어떠한 상수비율을 곱해준다.
A비율과 B비율의 비례상수가 다를 경우 A, B라는 비례식에 각각 a와 b를 곱하여 일치시키는것이 가능함을 의미합니다.
여기서 포인트는 모르는 미지수 a,b를 곱하나 1, k를 곱하나 그게 그거라는것입니다.
3의 경우에는 우리가 정지된 두 물체가 t초 뒤 속력이 2:3이면 가속도 비율이 2:3임을 도출할 때 종종 쓰입니다.
(dv를 2:3으로 도출했다는것 자체가 0:0 과 나중속력 비율을 가감했음을 의미합니다.)
물리학 역학에서 덧셈, 뺄셈이 사용되는 구간을 뽑아보면 어떤것이 있을까요?
지금 제 머리에서 바로 떠오르는것들을 뽑아보자면
속도의 변화량을 구하고자 할 때?
역학적 에너지의 합을 구할 때?
정지된 시점으로부터 두 지점간의 거리를 구할 때?
오늘 다루어볼 이야기는 역학적 에너지에 대해서입니다.
역학적 에너지는 다들 알겠지만 mgh 와 0.5mvv의 합입니다.
보통 우리는 위치에너지의 비율을 구한다면 m비율과 h비율을 곱할것이며
어떠한 물체에 대해서는 단순히 h비율만을 구합니다.
어떠한 물체에 대해서 운동에너지 비율을 구한다면 vv비율을 구할것입니다.
문제는 무엇이냐, 우리는 역학적 에너지의 보존법칙을 이용 할 때
운동에너지와 위치에너지의 교환 및 이 둘의 합이 일정하다는 특성을 이용할 때
가감을 굉장히 많이 합니다.
그러나, 일반적으로는 비례식끼리는 덧셈 뺄셈이 성립하지도 않을 뿐더러
이 둘의 비례상수를 일치시키려 하기도 뭔가 낯설게 느껴질것입니다.
이 때 우리는 앞서 언급한 4번 성질을 이용합니다.
A 비례식 = 2:5:8:9
B 비례식 = 4:3:6:8
우리는 두 비례식의 비례상수가 같은지 다른지 알 수 없으므로 A+B비율을 바로 구할 수 없습니다.
그러나, 우리가 두 비례식에 각각 서로다른 상수 또는 어떠한 비율 a:b 또는 1:k, k:1 을 곱하여
비례상수가 같아졌다는 가정하에 문항을 푸는것은 상관없습니다.
A 비례식 = 2:5:8:9
B 비례식 = 4k : 3k : 6k : 8k 로 변형하고 이 둘의 비례상수는 같아졌다라고 가정하여도 무방합니다.
위와같은 가정을 했다면 아마 k를 구하는 방향으로 문항풀이 방향이 잡히게 될것입니다.
사실 근원적으로는 결국 mgh, 0.5mvv 를 상수로 나타내는 꼴이나간혹 v비율로 접근하다가 역학적 에너지에서 방향성을 놓치는 경우가 있어
그럴 때에 위와같은 방식으로 생각하면 편할것입니다
최근 문항 중 위와 같은 원리가 적용될만한 문항을 몇개 가져와보았습니다.
24년 7월 시행 모의고사 20번.
우리는 역학적 에너지 보존 법칙에서 h변화는 v제곱 변화에 비례함을 익히 알고있을것입니다.
일단 p, q, r, s, t에 대해서 한번 높이 비율을 구해보면
1 2 1 1 2 가됩니다.
속력 제곱의 비율을 구해보면
16 9 rr ss 0 이됩니다.
즉, 위치, 운동 에너지의 비율을 표현하면 아래와 같겠죠.
우리는 위치에너지와 운동에너지의 비율을 구했으나 이 둘의 비율은 비례상수가 일치하지 않으니
자유롭게 가감할 수 없습니다.
이 때 아무곳에 미지수 k를 곱하여 비례상수가 동일해졌다는 가정을 하고 k를 구해도 될것입니다.
저라면 편하게 높이 비율에 k를 곱하여 위치, 운동에너지의 비율을 구해보겠습니다.
그럼 이제 문제풀이의 방향은 저 k를 구하는것으로 바뀔것입니다.
(또는 r,s 와 k의 관계식을 구한다든지)
이제 문제 조건을 하나씩 써주면 되겠습니다.
s와 t 구간은 역학적 에너지가 보존되므로 k+ss=2k 로 ss가 사실은 k라는 값이 나옵니다.
s, t를 보니 h변화 k에 운동에너지가 k가 변합니다.
구간 qr도 h변화가 k니 운동에너지가 k가 변할테니 rr=9+k가 되겠습니다.
이제 마지막 조건 역학적 에너지 손실조건을 써보겠습니다.
p에서 q뺀값의 3배가 r에서 s뺀값이라합니다.
(7-k)3=(rr-k) 인데 rr-k는 위에서 9임을 구했습니다.
k=4가 되겠네요.
따라서 r/s는 root13 / 2가 될것입니다.
k를 곱하는 방식의 장점은 자신이 원하는 방향에 k를 곱하여 식 조절을 본인 원하는 방향으로 할 수 있다는것입니다.
이러면 역학적 에너지 역시 비율적 계산이 가능하겠죠.
다른 문항도 하나 준비해왔습니다.
위 원리를 통해 한번 풀어보시기 바랍니다.
2023년 6월 시행 모의고사 20번
일단 마찬가지로 h의 비와 vv의 비를 나타내보겠습니다.
역시 이 두 비율은 비례상수가 일치하지 않아 가감할 수 없습니다.
h비율에 k를 곱하는게 편할거같지 않나요?
위와 같이 바꾸고 이제 자유롭게 가감할 수 있습니다.
문제 조건에서 역학적 에너지 감소량은 pq의 2배가 rs라고합니다.
(3-2k)2 = (k+x-1)
qr 구간은 역학적 에너지가 보존될테니 2k+1=k+x
이제 이 둘을 적당히 연립해주면 답이 나올것같습니다.
그냥 k+x 자체를 대입해버리죠.
6-4k=(2k+1-1) k=1
자연스레 x는 2가 되겠네요.
검산해보니 pq 손실량이 1, rs손실량이 2니 조건에도 부합합니다.
r에서의 속력은 q에서의 root2배가 되겠습니다.
위 풀이가 익숙해지고나면 곱해주는 k값이 눈대중으로 보이는 경우도 있을것입니다.
(머리속에서 나도 모르게 k에 1,2,3... 씩 대입)
한문제만 더 풀어보도록 합시다.
2023년 9월 시행 모의고사 19번
마찬가지로 원점 O 그리고 p, q, r에 대해 위치비를 구해봅시다.
6 1 2 x 문항에선 x를 구하는 문항이 되겠습니다.
이제 속력의 제곱도 구해봅시다.
0 2 1 0
이 두 비례식의 비례 상수를 맞추기 위해 아래비례식에 k를 곱한다면
누가봐도 아래에 곱하는게 훨씬 편해보일것같습니다.
6 // 1 // 2 // x
0 // 2k // k // 0
여기서 포인트는 q, r은 역학적 에너지가 보존이 되는데...
그럴거면 그냥 k를 x-2로 놔도 되지않을까요?
그래야 2+k와 x가 같을테니까요.
6 // 1 // 2 // x
0 // 2x-4 // x-2 // 0
이제 문제조건, op 손실량의 2배가 pq손실량이라 나와있으니
(6-2x+3)2 = (2x-3-x)
18-4x = x-3
x=21/5
여러 풀이방법이 있겠지만 제 풀이 대부분의 방향성이 비례식을 사용하는것이다 보니
저는 위와같은 풀이를 선호합니다.
전체를 묶어 계산하다보니 상황파악을 내가 어디까지 하고있는지를 알기 쉽다는게 장점같습니다.
0 XDK (+500)
-
500
-
ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
김용택 기출예감풀까 시대인재 중고로 사서 풀까 머 풀까
-
사설만 보면 4틀 5틀까지도 가는 이유가 뭐임 평가원이랑 비슷하게 22분 내로...
-
참가율은 저조하지만 늘 오는 정규행사인 프사추천을 받아보도록 할게욤 ㅇㅅㅇ
-
아는 게 많아질 때마다 알아야 하는 게 더 많아지기 때문.. 상대적으로 보면...
-
Erection 6
-
뉴스타트 프리미엄 N수 메가패스(교재캐쉬 30만원) <- 이거 올초에 얼마였는지 아시는분??
-
Central of Asia university 이런건줄 알고 있었는데 Chung...
-
충분히 도움됩니다 1 2 4 5번은 확실히 따라하시면 좋고 3번은 좀 개인 상황에 따라 다르다 봐요
-
경희대 최저 0
경희대 탐구 2합 평균이라는데 2 3맞으면 어케 되는건가요? 2.5해서 2라는건가요?3인가요?
-
한다고 하면 정시모집 이전에 안 끝나는 건가? 정시로 증원한 의대 들어간 후에...
-
9모 3틀 이후로 실모 풀때마다 꼭 1~3개씩 틀리고 만점은 살면서 한 번도...
-
저보다 늦으신분도 있나요.....후... 전 이제 겨후 70대이네요... 말출...
-
안녕하십니까 중3 학생인데요 국어 인강을 들으려고 찾아보는데 김승리 쌤이랑 김동욱...
-
컴공 지망하는 고2 입니다 지1은 정보계열이라 선생님과 상의 후 안들었고 물2는...
-
롤 다이아는 0
게임 능지 이슈가 너무 씨게 와서 도전 포기해야겠다. 에메랄드가 한계네
-
그냥 앉아만 있는 수업이고 싶다..자꾸 멀 시킴..짱남..
-
아무튼 관입되고 부정합이 있었다네요
-
인원 조정은 하더라도 모집정지는 아니지 않을까요… 만약 하면 상위권 대학 다 크게 영향받지 않나요?
-
항상 정신을 차려야 돼 13
이거 하나 틀림ㅋㅋ
-
6월 후부터 물리 공부 시작해서 아직 역에보를 완벽하게 끝내진 못했는데 역에보...
-
학점 인증 10
ㅁㅌㅊ?
-
그냥 진급시켜주려나 그게 아니고서야 24+25학번을 어떻게 수용함
-
괴랄하고 기형적으로 변하는것같음
-
4500명 일단 뽑고 면허는 3000명만 주고 나머지 1500명은 의과학 연구나 하라고 하지 않을까
-
근데 전 통합과학 몰라요
-
가능할까요? 아직 뉴런도 다 못보고 심지어 공통과목 말고 확통은 시발점만 봐야할거...
-
후
-
가능성이 높음? 정지되면 다같이 ㅈ되는거 아니냐 2025수능 의대정원증가로 최상위권...
-
왜 난 이제야 깨닫는거 같지 진짜 아주 조금씩 개안하는거 같은데 세번은 안되는데
-
가렵네
-
리얼
-
사문시발 0
개념이 아직 몸에 들어오지 않았어...
-
영어 2등급 사설 실모 or N제 풀거 추천부탁드려요 0
제목대로 평균 영어 2등급 남은 기간동안 풀 사설 실모 추천 뷰탁드려요
-
의대모집정지되면 1
가카지지율 어디까지 떨어질거같음?
-
솔직히 농어촌전형 지역인재 다 없어져야한다고 생각함 14
야식 ㅊㅊ 받음
-
성적이 오르긴 하는 건가 눈에 안 보여서 모르겠다 이래가지고 가능성이 있을까
-
분컷 96 28번 하나 빼먹었네... 그래도 기분이 좋아
-
26부턴 정시 일반전형은 그냥 GG인듯
-
병원가기너무힘듦 0
저녁에 집에서한 동태전먹다가 가시걸려서 주위병원 응급실 아무곳이나 갈려했더니...
-
ㄹㅇ 모집정지 알빠노? 13
어차피 26년까진 군대라 군수로 또 보면 됨 ㅅㄱ
-
내후년에 보면 됨.
-
현재 최저는 국영탐으로 맞추고 있는 상황입니다 지금까지 수학에 쏟았던 것들+수시...
-
하나만 골라주세요 30에서 자꾸 나가서 :(
-
모집정지되면 6
원샷
-
최적 사문 기선제압 1강 수특 경제 1단원 ebs 파이널집 우라지오 ~귤동리 메e네...
-
논술 어디갈까 5
경희대인문 성대 사회과학 시간 겹치는데 일부로 최저맞는곳으로 갈려고 둘다 씀 추석때...
-
시원한 답을 못 얻어서 다시 올려요.. 사진 첨부가 렉 걸려서 안돼서 질문 글 링크...
어 에라둔 선생님이네 언제 부활하셨데
22년 가입자분께서 기억하시는게 저한테는 더 신기합니다 ㅎㅎ
물리로 꽤나 유명하셨으니.. 중학생 때 물리공부할때 참고 좀 했었읍니다ㅎㅎ..
에라둔!에라둔!에라둔!
goat
예전에 옆동네에 무료배포하셨던 독학서(?)자료 돌림힘땜에 본적있는데 언제적인지
돌림힘 Goat