난만한 님 소환)) 두 곡선의 최단거리 구하기 문제, 도와주세요 ~
문제는 수학의 정석 실력편 연습문제 9-28번으로
""두 곡선의 최단거리 구하기""입니다.
첨부사진에서 보시는 바와 같이 정석에서는
이 문제를 두 곡선이 같은 모양이고,
서로 점 대칭인 관계를 이용하여 풀었습니다.
1. 점대칭인 곡선 간의 최단거리는
각각 곡선 위의 점을 이은 선분이 대칭점을 지나고
이 선분이 각각의 점에서의 (공통) 법선일 때의 거리라고 하는데,
그래프로 그려보면 직관적으로 이해가 되는데
수식으로 "증명"하는 거나 관련 "공식"은 없나요 ?
그냥 그래프만 보고 넘어가면 되려나요?
2. 처음에 점대칭인줄도 몰랐고,
점대칭인 두 곡선의 최단거리일 때의 특정 상황도 몰랐기 때문에
두 점의 x좌표를 미지수 t,s로 잡고 풀었으나, 풀이가 진전이 없었습니다.
제가 처음 풀었을 때처럼, 위 2가지를 모르고 풀 수 있는 방법은 없나요?
3. 점대칭인 곡선 간의 최단거리는
각각 곡선 위의 점을 이은 선분이 대칭점을 지나고
이 선분이 각각의 점에서의 (공통) 법선일 때의 거리라는 것은
점대칭인 곡선이라는 특수한 경우에만 성립하는거 일텐데,
일반적으로 두 곡선의 최단 거리를 어떻게 푸나요?
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활용하시면 최단거리인걸 증명하실수 있을거라 생각합니다.
2.대칭이면 합동이고 거리가 같다는 말씀을 어디선가 본적이 있습니다.. 그걸 활용해보시면 어떨까요..
3.접선과 접선의 사이를 표현하는 식을 세워서 극한으로 해보면 답이 나오지 않을까 싶습니다...
점대칭도 필요없고, 두 곡선 사이의 거리가 최소가 되게 하는 곡선 위의 두 점이 존재할 때, 그 두 점을 이은 선과 각 점에서의 접선이 수직이 됩니다.
직관적으로 생각해보면, 주어진 곡선을 어떤 점 근처에서 매우 크게 확대하면 사실상 그 곡선을 직선처럼 볼 수 있습니다. 따라서 이 경우 문제를 직선과 점 사이의 최소거리에 대한 문제로 바꿔 생각하여도 무방할 것입니다. 그렇게 되면 거리가 최소가 되는 지점에서는 두 최소점을 이은 선분과 주어진 직선이 수직하게 되지요.
물론 미적분학을 이용하여 대충 증명을 해 볼 수도 있습니다. 두 미분가능한 곡선 a(s)와 b(t)가 있다고 합시다. 그리고 두 곡선 사이의 거리, 즉 |a(s) - b(t)| 가 최소가 되는 어떤 s0과 t0이 존재한다고 합시다. 그러면 L(s, t) = |a(s) - b(t)|² = (a(s) - b(t))·(a(s) - b(t)) 는 (s0, t0)에서 최소값을 가지므로, 이 지점에서 두 조건 ∂L/∂s = 0, ∂L/∂t = 0 을 만족합니다. 그런데 ∂L/∂s = 2(a(s0) - b(t0))·a'(s0) = 0 이고 ∂L/∂t = -2(a(s0) - b(t0))·b'(t0) = 0 이 됩니다. 여기서 a(s0) - b(t0) 는 두 최소점 사이의 변위벡터이고 a'(s0) 와 b'(t0) 은 각각 두 곡선 위에서의 최소점에서의 접선의 방향벡터이므로, 결국 두 식은 두 벡터가 수직함을 보여주고, 원하는 결과가 증명됩니다. 덤으로, 상황이 (질문하신 문제에서처럼) 2차원 내의 상황이라면, 두 접선이 평행하다는 사실까지 따라나오지요.
물론, 이러한 사실이 일반적인 경우에 두 곡선 사이의 최소거리가 존재한다든가 하는 것을 보장해주진 않습니다. 예를 들어 쌍곡선과 그 점근선만 생각해보더래도 최소거리라는 것이 존재하지 않지요. 하지만 이런 이야기는 할 수 있습니다. 2차원 상황일 경우, 적어도 두 곡선 각각 위의 점에서의 접선의 기울기가 일치하는 지점이 '최단거리의 후보' 가 될 수 있습니다.
이제 점대칭이란 조건이 주어지면 어떠한 이야기를 할 수 있는지 알아봅시다. 사실, 점대칭이란 조건만으로는 대칭점을 지난다는 것을 보장할 수 없습니다. 평행한 두 직선을 생각해보더래도 이는 쉽게 확인할 수 있고, W자처럼 혹이 두 개 있는 곡선을 잘 점대칭시켜 붙여봐도 꼭 그렇지 않다는 것을 알 수 있습니다. 하지만, 최소거리를 주는 점이 유일하다면, 그 두 점을 잇는 선분이 대칭점을 지남을 보일 수 있습니다.
이는 점대칭이 갖는 대칭성 때문인데, 기본적인 아이디어는, 만약 주어진 선분이 대칭점을 지나지 않는다면 이를 점대칭시켜서 또 다른 선분을 만들 수 있고, 이것이 유일성과 충돌하기 때문이라는 것입니다. 구체적으로는 다음과 같습니다:
만약 두 곡선 C1, C2가 어떤 점 M에 대하여 점대칭이고, 두 곡선 사이의 최소거리가 양수로 존재하며, 그 최소거리를 주는 C1과 C2 각각 위의 점 P1, P2 이 '유일하다'고 합시다. 그러면 P1과 P2를 이은 점은 M을 지납니다. 그렇지 않다고 가정해봅시다. 그러면 선분 P1P2 와 평행하고 M을 지나는 직선은 평면을 2등분하는데, 이때 선분 P1P2는 이 이등분된 평면 중 어느 한 쪽에만 속하게 됩니다. 한편 주어진 상황이 M에 대해 점대칭이므로, 우리는 전체 상황을 M에 대하여 180도 뒤집어 생각해볼 수 있습니다. 이때 C1과 C2는 각각 C2와 C1으로 뒤바뀝니다. 그리고 이 뒤바뀐 그림에서, P2를 M에 대해 점대칭시킨 점은 C1 위의 어떤 점 Q1이 되며, 마찬가지로 P1을 대칭시킨 점은 C2 위의 어떤 점 Q2이 됩니다. 그런데 우리는 Q1과 Q2를 잇는 직선이 최단거리가 되는 직선임을 알고 있습니다. 따라서 유일성 가정으로부터 P1 = Q1 이고 P2 = Q2 입니다. 그러면 여기서 모순이 나옵니다. 왜냐하면 Q1과 Q2를 이은 선분은 P1P2와는 다른 선분이 되어야 하기 때문이지요. 우리는 P1P2가 이등분된 영역 중 한 쪽에 들어감을 알기 때문에, 이 선분을 M에 점대칭시키면 원래 영역의 반대쪽으로 넘어간다는 것을 알고 있습니다. 그리고 그 넘어가서 생긴 선분이 Q1Q2이지요. 이로부터 P1P2 와 Q1Q2 가 다르다는 모순이 나오고, 이는 애초에 P1P2가 M을 지나지 않는다고 가정했기 때문에 생긴 모순입니다. 따라서 P1P2는 M을 지납니다.
그리고 부수적으로, 우리는 P2를 대칭시킨 점이 P1임을 알기 때문에 P1M = P2M 이라는 사실도 추가로 얻습니다.