삼각함수 문제 풀이
sin A + sin B + sin C의 최댓값과 cos A + cos B + cos C의 최솟값을 각각 구하는 문제입니다.
볼록성을 이용하거나 하나를 상수로 두고 미분하는 것을 반복하여 구할 수 있지만 더 간단한 방법을 소개합니다.
1번 문제의 경우 sin A + sin B + sin C는 반지름의 길이가 루트 2인 원에 내접하는 삼각형의 넓이와 같으므로, 원의 중심에서 한 현까지의 거리를 d라 놓고 이 현을 한 변으로 가지는 최대넓이 삼각형의 넓이를 d에 관한 식으로 표현할 수 있습니다. (현과 평행한 원의 접선 중 현에서 더 멀리 있는 접선이 원과 만나는 접점을 꼭짓점으로 가지는 삼각형이겠죠) 따라서 d에 대한 일변수함수가 나오고, 이를 d에 대하여 미분한 후 최댓값을 구하면 예상대로 정삼각형일 때 최대가 된다는 결론이 나옵니다.
2번 :
또는 단위원 위에 점들을 올려놓고 벡터를 이용하여 다음과 같이 풀 수도 있습니다.
A = B = C = 2pi/3일 때 등호가 성립하므로 답은 -3/2입니다.
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정석에있다!