함수의 성질이 함수의 이름을 만든다 - 1. 지수함수
함수의 성질이 함수의 이름을 만든다 - 지수함수.pdf
이번 글은 그다지 길지 않고, 그다지 어렵지는 않을 것이라 추측합니다.
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네모박스 안에 있는거 말인데요 1번과 2번이 서로 필요충분조건이라는 건가요?
an=1+(1/n) 인 경우를 생각하면 이 경우에는 x=1에서의 우극한만 표현이 되고 좌극한은 표현이 안 되는데요.
x->a 라는건 a의 양쪽에서 이동하는 것이지만 n->무한대라는건 한쪽으로 이동하는거잖아요.
1번이 충분조건이고 2번이 필요조건 같은데 아닌가요?
2번 문장의 의미는 a_n이 항상 a가 아니지만 a로 수렴하는 수열이기만 한다면, a_n이 어떤 것이든지 간에 f(a_n)이 L로 수렴한다는 의미입니다.
다시 말해서, a가 아니면서 a로 수렴하는 수열 하나에 대해서 f(a_n)이 L로 수렴해야 하는 것이 아니라, a가 아니면서 a로 수렴하는 "모든 경우의" 수열에 대해서 f(a_n)이 L에 수렴해야 한다는 의미입니다.
그렇기에 1번 명제와 2번 명제는 필요충분입니다.
아 박스 아래 문장을 안 봤네요..
그리고, "p이면 q이다"라는 명제가 참이라는 것은 "p가 참인 모든 경우에 대하여 q가 참"이라는 의미입니다. 고등학교 1학년 때에 배우지만, 그 때 확실하게 배워 두지 않으면 2번 문장을 읽으면서 헷갈릴 수밖에 없습니다. 그렇기에 성지출판에서도 각주와 비슷한 형식으로 박스 아래 문장이 추가되어 있었고요.
인용 표시 안했네요. 해야겠습니다.
답이머죠 ㅠㅠ
한번 풀어 보시고, 전부가 아니라 일부라도 괜찮으니까 풀이를 비밀댓글 또는 쪽지로 보내 주시면 제가 그에 대해서 도움말을 드리거나, 사소한 고칠 부분을 알려 드리거나 등등 할까 해요. 어디까지 나아갔나요?
문제 1-6으로 음의 실수 r에 대해 f(r)을 구하시오
까지 넣으시면 완벽할듯 하네요^^ 잘 보고 갑니다^^
문제 1-1, 1-3, 1-4, 1-5의 결과를 종합하면 양의 실수 s에 대하여 f(r)을 구하게 되고, 이에 문제 1-2와도 종합하면 음의 실수 t에 대하여 f(t)를 구하게 됩니다. 그렇기에 일단은 문제는 충분한 셈이며, 1-6을 반드시 넣어야 하는 건 아니에요.
그렇지만, 생각의 순서를 생각하면 문제 1-2를 가장 마지막으로 보내는 게 좀 더 보기 좋을 것 같네요. 다른 분들도 그렇게 해서 생각하시면 좋을 겁니다.
댓글 감사합니다^^
좋은글이네요
2번의 f(x)*f(-x)=1=f(0)
이것이 지수함수의 성질이군요 ㅇㅅㅇ.......
3번은 f(2n)=4n^2 / f(2n+1)=8n^2 라 했을때
이것을 귀납적으로 어떻게 설명하나요?
n=1 일떄 설명하고
n=k 일때 가정
n=k+1 일떄 가정한것을 이용해서 설명하는건데 글로 쓰려니 생각이 안잡히네요 ㅎㅎ
논술떄 연습좀 많이해둘걸 ㅜㅜ 귀납
우선, 주어진 길을 잘 따라가는 것이 도움이 될 때가 있습니다. 이번 경우가 그런 경우의 하나입니다.
3번은 임의의 자연수 n에 대하여 f(n)을 구하라는 것입니다. f라는 함수가 지수함수 2^x의 성질을 뽑아 내어 만든 함수이긴 합니다만, 그렇다고 해서 짝수와 홀수를 구분해야 할 필요가 있을까요? 문제 자체만 놓고 보면, 구분해야 하는 이유가 딱히 있는 건 아닙니다. 실제로 구분하지 않고도 증명할 수 있고요.
그렇지만 일단 질문하신 바에 대해서 살펴보도록 하죠. 정말로 f(2n) = 4n^2인가요? 바로 그렇다고 짐작하셨다면, 수학적 내공이 쌓이면 1-3만 읽고 바로 f(2n)이나 f(n)을 짐작할 수 있지만, 그렇지 않다면 차근차근 하나씩 살펴 보는 게 좋다는 이야기를 드리고 싶습니다. 하지만 제 생각에는 f(5)까지 살펴 보고 f(2n)과 f(2n+1)을 추측했을 개연성이 크다는 생각이 듭니다.
차근차근 구체적인 경우를 시도해 보고, 이로부터 일반적인 경우를 추측하는 것은 좋은 수학적인 사고방식입니다. 그런데 그 사고방식을 '작동'시키는 과정에서, 뭔가 문제가 있지 않았나 하는 생각이 드는군요. 그렇기에, 어떻게 해서 f(2n)=4n^2라고 생각하셨는지, "정말 자세하게" 적어 주셨으면 좋겠습니다. 그러면 제가 그것을 보고, 생각하는 과정에서 어느 부분을 수정해 주면 "구체적인 경우로부터 일반적인 경우를 추측하는 것"을 제대로 하게 될지에 대해 말씀드리겠습니다. 바로, "사고의 첨삭"을 해 드리겠다는 것이지요.
제 생각에는 제가 1-3번의 풀이를 알려드리는 것보다, 개척님의 사고 과정을 첨삭해 드리는 게 나을 것 같다고 했기에 이렇게 댓글을 달았습니다. 생각한 과정을 자세하게 적어 주시면(어떤 형식이라도 괜찮으니까) 제가 조언을 드리겠습니다.
저는 f(1)=2 이것으로부터 출발해서
f(1+1)=f(1)^2= 4 이렇게 f(3),f(4),를 구하다가
f(n+n)=f(n)^2 이고 여기서 제가 이상하게 f(n)=2n 이라는 식을 어디서 들고와서 그런 식이 나왓네요.
f(n+1+n)=f(n+1)f(n)=f(n)^2f(1)=2f(n)^2
이렇게 제가 무턱대고 쓰다가 그런것 같네요 ㅜㅜ...
다시 생각해서 글 쓸게요
제 글을 읽고 풀어 보던 중 막힌 부분이 있어서 여기 댓글을 달거나 쪽지를 보내고자 할 때, 자신의 생각의 과정을 최대한 자세하게 적어 주셨으면 좋겠습니다.(비밀글이나 쪽지로 하면 됩니다) 그러면 제가 그것을 살펴보면서, 생각의 과정 중 어디서 잘못 나아갔는지, 어느 부분을 고치면 수학적으로 타당하게 생각하는 것이 되는지 알려드리겠습니다.
말하자면, "사고의 첨삭"인 셈이며, 답안지나 다른 분들의 풀이를 보는 것보다 이렇게 "사고의 첨삭"을 하는 것이 낫다고 여겨서 이렇게 하고자 합니다.